阿波羅尼斯圓:一動點P與兩定點A、B的距離之比等于定比m:n，則點P的軌跡，是以定比m:n內(nèi)分和外分定線段的兩個分點的連線為直徑的圓。

如圖所示，P是平面上一動點，A、B是兩定點，PA∶PB= m∶n ，M是AB的內(nèi)分點(M在線段AB上)，N是AB的外分點(N在AB的延長線上)且

AM∶MB=AN∶NB=m∶n，則P點的軌跡是以MN為直徑的圓。

下面先證明兩個定理:

一、如圖一，已知M是BC上一點，且AB∶AC=BM∶MC，

求證:AM平分∠BAC(三角形內(nèi)角平分線定理的逆定理)

證明:過C點作CD∥AM交BA的延長線于D，則AB∶AD=BM∶MC

∵AB∶AC=BM∶MC，∴AB∶AD =AB∶AC，∴AC=AD，

∴∠D=∠3，∵CD∥AM，∴∠1=∠D，∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴AM平分∠BAC。

二、如圖二，N是BC延長線上一點，BN∶CN=AB∶AC，求證:AN平分∠BAC的鄰補角∠EAC

證明:∵CD∥AN交AB于D，則BN∶CN=AB∶AD，∵BN∶CN=AB∶AC，∴AB∶AD=AB∶AC，AD=AC，∴∠3=∠4，∵DC∥AN，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠1=∠2，∴AN平分∠BAC的鄰補角∠EAC

有了上面的證明，阿波羅尼斯圓定理的證明就不難了，證明如下:

連結(jié)PM、PN，∵M為AB的內(nèi)分點， PA∶PB=AM∶MB =m∶n，∴PM平分∠APB

∵N為AB的外分點，AN∶BN=PA∶PB =m∶n，∴PN平分∠BPE，

∵∠APB+∠BPE=180o，又∠2=∠APB/2，∠3=∠BPE/2，

∴∠2+∠3=(∠APB+∠BPE)/2

即∠MPN=90o，∴動點P到MN的中點O的距離等于MN(定值)的一半(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)，點P的軌跡，是以定比m:n內(nèi)分和外分定線段AB的兩個分點的連線為直徑的圓