數(shù)學(xué)分析055：Lebesgue-Vitali定理

筆記：

Lebesgue-Vitali定理

函數(shù)在有限閉區(qū)間上Riemann可積等價于函數(shù)在該區(qū)間上的不連續(xù)點所構(gòu)成的一個集合是零測集。

必要性證明

想法：

在這里選擇使用振幅來刻畫，利用一個任意的δ來劃分，只討論大于δ的不連續(xù)點，看似毫無頭緒，但是轉(zhuǎn)念一想，對于該點處的振幅，ω＜δ的部分，實際上就是表示該點的振幅為0，即該點不間斷。

后面的證明是對間斷點做了分開的處理，在分劃上的點本身就是零測的，比較簡單。而對于在分劃內(nèi)的間斷點，利用振幅的下界，結(jié)合黎曼可積推導(dǎo)出想要的不等式。

充分性證明

想法：

利用條件的“不連續(xù)點構(gòu)成零測集”這一條件，同樣是分割的思想，把存在不連續(xù)點的區(qū)間和連續(xù)的區(qū)間分開計算。