從上圖可以看出，隨著點數的增加，拉格朗日插值中的Li(x)在計算機程序中需要重新計算。

為了解決這個矛盾，提出了牛頓插值法，還是先考慮兩個點：

上述過程顯而易見，再考慮三個點

上述過程也不存在困難，而那些待定系數就是所謂的n階差商：

這個一階差商很好理解，其實就相當于兩個點之間求導數。

對于上面的二階差商，考慮下面圖形：

在圖1中取三個點，先求出第1，3兩個點之間的差商（一個數），然后求出求出第1，2兩個點之間的差商（另一個數），再把求出的這兩個數連起來，求出它們的導數（分母是第3個點減去第2個點，也就是最后兩個點的距離）。

同樣，如果是三階差商，那就先把（1，2，4）和（1，2，3）這兩組數的二階差商求出來，然后把求出來的這兩個數連起來，再求它們的導數，分母同樣是最后兩個點之差。以此類推。由此得出n階差商表達式：

下面推導所求目標函數的表達式：

通項為：

通項中有幾個注意的地方：

1：方程右邊每一項的差商部分，除最后一項的差商之外，都不包含未知數x,也就是說，除最后一項的差商之外的其它差商，都是可以求出來的。

2：方程右邊的每一個乘積項都包含x。

3：方程右邊的n階差商對應n個乘積項。

再把圖2的通項和泰勒級數比較：

會發(fā)現兩者形式上很像，事實上：

如果 f(x) 在 [a,b] 上存在 n 階導數，且 xi∈[a,b],i = 0, 1, ..., n ，則