今天無(wú)意間翻到了b站用戶@職業(yè)數(shù)學(xué)家在民間 關(guān)于所謂“硬幣悖論”的視頻（BV1Uz4y197PX），我覺得我有必要對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行澄清。

事實(shí)上，在網(wǎng)上你是幾乎找不到所謂的“硬幣悖論”的，除了一些明顯出自營(yíng)銷號(hào)之手的所謂悖論總結(jié)。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，所謂的“硬幣悖論”根本不屬于邏輯學(xué)上的悖論，因?yàn)樗皇潜徽`解了，根本不存在邏輯上的矛盾之處。就像很多人無(wú)法理解狹義相對(duì)論，但這并不意味著你能稱狹義相對(duì)論為悖論。

好，現(xiàn)在我們來(lái)分析問題。

原問題我就不過多贅述了，我們直接來(lái)看更一般的情況：

考慮兩個(gè)半徑分別為r和R的兩個(gè)圓圓O'和圓O，圓O'繞圓O作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，求繞圓O公轉(zhuǎn)一周后圓O'自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)過的角度。

解：

記圓O'的公轉(zhuǎn)加速度和自傳角速度分別為ω和ω'，質(zhì)心速度為v

由定義可知

v=ω(R+r)

由純滾動(dòng)條件可知

v=ω'r

于是

ω'=ω(R+r)/r

故公轉(zhuǎn)與自轉(zhuǎn)角度θ，φ滿足

φ=θ(R+r)/r

對(duì)于原題目，取θ=2π，r=R，有

φ=4π

下面考慮一個(gè)更有意思的問題：

圓O'上某一點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是多少？

不妨假設(shè)取圓心O'的初始位置為在y軸上，考慮圓O'的最上端的點(diǎn)A

容易得到有關(guān)向量

于是，可以得到參數(shù)方程

進(jìn)而可以得到軌跡長(zhǎng)度

這里有一個(gè)有意思的結(jié)論：

對(duì)于上面的結(jié)果，取r=R，有

L=16R

注意到半徑為R的圓轉(zhuǎn)一圈所形成的擺線的長(zhǎng)度為8R，因此可以看出，原題中的圓轉(zhuǎn)了兩圈，即4π角。