置頂: 這不是一篇面向廣大群眾(特指初步接觸微積分的高中生)的科普文

Green函數(shù)是一個(gè)在數(shù)理方程中非常實(shí)wu用nao的工具, 對(duì)于給出條件的微分方程, 只需要求得一個(gè)特殊的基本解就可以求出任意解, 在計(jì)算機(jī)模擬和求解含時(shí)或不含時(shí)方程都有很大的作用

那么就來(lái)了解一下怎么使用這個(gè)工具吧

前提: 本篇討論的函數(shù)都是具有一階求導(dǎo)(或偏導(dǎo))的連續(xù)函數(shù),? ? 并且本篇不會(huì)過(guò)于詳細(xì)地討論適用范圍和細(xì)節(jié), 想要深入學(xué)習(xí)的可以去自行購(gòu)買一本<<數(shù)理方程>>

對(duì)于一般的數(shù)理問(wèn)題, 可以籠統(tǒng)地歸納為 "初值條件在系統(tǒng)和邊界條件下, 隨時(shí)間演化或求定解"

Green函數(shù)法成立的最基本的原理為:? 在系統(tǒng)和邊界條件下, 有不止一個(gè)的特殊解, 那么通常解則為特殊解的線性組合,? ?換句話說(shuō), 有許多方程{P0, P1, P2, ...}都符合系統(tǒng)條件, 那么P = a0P0+a1P1+a2P2+...也符合系統(tǒng)條件 (a0, a1, a2不于方程變量有關(guān))

那么Green函數(shù)法的思路為: 已知在空間內(nèi)存在系統(tǒng)條件, 在空間的邊界上存在邊界條件, 在空間和邊界上的每一點(diǎn)M, 求出當(dāng)M這一點(diǎn)強(qiáng)度為1時(shí)的特解, 得到一簇與M有關(guān)的特解, 這簇特解在特定加權(quán)下相加與初值條件相同, 那么就求得了目標(biāo)解, 而與M有關(guān)的特解就叫做基本解? (以上為不含數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)方法, 看不懂的可以直接去看示例)

那么Green函數(shù)法的思路為: 假設(shè)空間D和其邊界?D上存在條件, 對(duì)D+?D內(nèi)任意一點(diǎn)M0求得基本解G(r;M0), 那么目標(biāo)解可以使用基本解表達(dá)

示例: 無(wú)限弦振動(dòng)??(推薦動(dòng)動(dòng)腦子, 拿出草稿紙, 不要看到公式就說(shuō)看不懂)

一維無(wú)限弦振動(dòng)可以表示為:? ?(x為弦的坐標(biāo), u為弦偏離平衡點(diǎn)的位移, t為時(shí)間)

上面一條式子是系統(tǒng)條件, 并且因?yàn)槭菬o(wú)限弦, 所以沒(méi)有邊界條件;? 下面一條式子是初值條件,?

這些式子的物理意義為:? 弦上的一點(diǎn)會(huì)受到左右兩邊的拉扯, 并且受到是合力為左右兩邊的和

而下面的初值條件表示, 在t=0時(shí), 弦的位置為f(x), 而這時(shí)的速度為g(x)

而上述問(wèn)題可以拆分為兩個(gè)問(wèn)題:?

這兩個(gè)可以分別求得基本解, 而求基本解即為求以下問(wèn)題:

左邊的問(wèn)題為:? 在高度為0的弦上, 只有M0這一點(diǎn)有高度為1的點(diǎn),?且弦的初速度處處為0, 求這個(gè)弦的演化

而右邊的問(wèn)題為:? 在高度處處為0的弦上, 初速度只有M0點(diǎn)為1, 其他地方為0, 求這個(gè)弦的演化

desmos的模擬:? ? ? ?desmos.com/calculator/8yi47dfizr? ? ?(網(wǎng)站)

于是求得兩個(gè)基本解:?

那么最開始問(wèn)題的系統(tǒng)條件的通解可以表達(dá)為:?

而為了求得符合給定初值條件的解, 可以得到:

把u1和u2代入上式后, 并且利用:

求得的結(jié)果是與行波法求得的一樣的

對(duì)于高維的Green函數(shù)法, 還需要注意相應(yīng)的Green公式, 并且有部分問(wèn)題解不出基本解,?

總之Green函數(shù)是一個(gè)用途非常廣泛的工具, 并且很多需要注意的方面, 一篇專欄是肯定裝不下的

⑧說(shuō)了, 去ff14摸魚了, 順便丟一個(gè)通用Green函數(shù)的公式