對于用來估計(jì)總體參數(shù)的樣本函數(shù)在大樣本中的標(biāo)準(zhǔn)誤差問題的第一個(gè)普遍探討，是由皮爾遜和年輕的法國數(shù)學(xué)證明者菲爾翁在“論頻率常數(shù)的可能誤差及隨機(jī)選擇對變異性和相關(guān)的影響”一文中給出的。皮爾遜后來發(fā)表了一組文章用來答復(fù)讀者的詢問。他導(dǎo)出χ2 在大樣本中的取樣分布是k的函數(shù)，發(fā)現(xiàn)它是類型三分布的特化形式，現(xiàn)稱為“關(guān)于k一1自由度的χ2 分布”。 χ2 準(zhǔn)則開創(chuàng)了統(tǒng)計(jì)決策的新紀(jì)元，它無疑是皮爾遜在統(tǒng)計(jì)理論和實(shí)踐方面的最偉大貢獻(xiàn)之一。1904年和1911年，皮爾遜又兩次把他的χ2 準(zhǔn)則加以推廣，用來檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)的一些問題。

兩個(gè)卡方分布之和，分兩種情況討論

也就是：

The reason is that our proof?never?used the assumption that they were integers, and thus the argument holds in greater generality. As this is such an important problem we’ll give the general proof.

還是采用卷積的方法：

作變量代換：

假設(shè)

代表圖1中的積分部分，得出結(jié)果：

經(jīng)過推理

的結(jié)果就等于自由度為（v1+v2）的卡方分布的系數(shù)：

由以上推導(dǎo)過程可以看出，非整數(shù)的兩個(gè)卡方分布之和的密度函數(shù)的推導(dǎo)，先進(jìn)行概率密度求和的運(yùn)算，經(jīng)過和運(yùn)算的推導(dǎo)以后，根據(jù)結(jié)果，仍然得出它們的自由度可以合并的結(jié)論。

非整數(shù)的自由度應(yīng)該只有數(shù)學(xué)上的意義。