#練習(xí)生打卡

一.1.連續(xù)映射“保持道路連通性”。

證明：f(X)上的任意兩點(diǎn)f(x)和f(y)之間的道路可以用f?p表示。

2.由“1”直接推得單位球面道路連通。

證明：D=IR?/｛0｝道路連通，

故S??1=g(D)（其中g(shù)(x)=1/‖x‖·x，?x∈D是連續(xù)映射）道路連通。

二、關(guān)于道路連通和連通的關(guān)系。

3.定理2.47。道路連通?連通

證明：設(shè)X道路連通，則存在連續(xù)映射f：[0, 1]→X。用定理2.44的結(jié)論，[0, 1]連通，故X連通。

4.但定理2.47的逆命題不一定對(duì)，其反例正是經(jīng)典的：拓?fù)鋵W(xué)家的正弦曲線（例2.81）

S=sin(1/x)在(0, 1]上的圖像，S閉包是連通的，但卻不是道路連通的。

前者因?yàn)镾連通?S閉包連通

后者S閉包不道路連通，因?yàn)闊o(wú)法找到一個(gè)連續(xù)映射f(t)=(x(t), y(t))把[b, c]映到S閉包上。

這是因?yàn)閒在(0, m)不收斂?f在(0, m)不連續(xù)。而這依靠sin1/x的性質(zhì)，用Heine原理和介值定理推得。

5.但若E是開集，則道路連通?連通。

其等價(jià)命題是例2.83，區(qū)域一定是道路連通的。

證明：構(gòu)造Ex，只需證明Ex=E。根據(jù)上節(jié)課的定理，只需證明Ex既開又閉且非空。

球形鄰域道路連通+粘接引理?開、閉集