先回到初始狀態(tài)（第二彈）（2019課標(biāo)Ⅲ，12）

2022-12-03 20:59 作者:數(shù)學(xué)老頑童 0人讀過(guò) | 我要投稿

（2019課標(biāo)Ⅲ，12）設(shè)函數(shù) $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Csin%20%5Cleft(%20%5Comega%20x%2B%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%20%5Cright)%20$ $%5Cleft(%5Comega%3E0%20%5Cright)$ ，已知 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在 $%5Cleft%5B%200%2C2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright%5D%20$ 有 $5$ 個(gè)零點(diǎn).下述四個(gè)結(jié)論：

① $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在 $%5Cleft(%200%2C2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20$ 有且僅有 $3$ 個(gè)極大值點(diǎn)；

② $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在 $%5Cleft(%200%2C2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20$ 有且僅有 $2$ 個(gè)極小值點(diǎn)；

③ $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在 $%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B10%7D%20%5Cright)%20$ 單調(diào)遞增；

④ $%5Comega%20$ 的取值范圍是 $%5Cleft%5B%20%5Cfrac%7B12%7D%7B5%7D%2C%5Cfrac%7B29%7D%7B10%7D%20%5Cright)%20$ .

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（? ? ）

A.①④

B.②③

C.①②③

D.①③④

解：先令 $%5Comega%20%3D1$ ，畫出函數(shù)圖象未經(jīng)伸縮之前的初始狀態(tài)：

從 $y$ 軸往右數(shù)，第 $5$ 個(gè)零點(diǎn)為 $%5Cfrac%7B24%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B5%7D$ ，

第 $6$ 個(gè)零點(diǎn)為 $%5Cfrac%7B29%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B5%7D$ ，

故 $%5Comega%20$ 應(yīng)滿足 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09%5Cfrac%7B24%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%5Cleqslant%202%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%2C%5C%5C%09%5Cfrac%7B29%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%3E2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D.%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

解得 $%5Comega%20%5Cin%20%5Cleft%5B%20%5Cfrac%7B12%7D%7B5%7D%2C%5Cfrac%7B29%7D%7B10%7D%20%5Cright)%20$ ，故④正確；

由圖易知在 $%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B24%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%20%5Cright)%20$ 有 $3$ 個(gè)極大值點(diǎn)，

在 $%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B24%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%2C%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B29%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%5Cright)%20$ 無(wú)極大值點(diǎn)，

故伸縮之后，在 $%5Cleft(%200%2C2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20$ 有且僅有 $3$ 個(gè)極大值點(diǎn)，①正確；

由圖易知在 $%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B24%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%20%5Cright)%20$ 有 $2$ 個(gè)極小值點(diǎn)，

在 $%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B24%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%2C%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B29%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%5Cright)%20$ 有 $1$ 個(gè)極小值點(diǎn)，

伸縮之后，在 $%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B24%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%20%5Cright)%20$ 的 $2$ 個(gè)極小值點(diǎn)必然進(jìn)入 $%5Cleft(%200%2C2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20$ ，而在 $%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B24%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%2C%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B29%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%5Cright)%20$ 的 $1$ 個(gè)極小值點(diǎn)可能進(jìn)入 $%5Cleft(%200%2C2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20$ ，也可能不進(jìn)入 $%5Cleft(%200%2C2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20$ ，故 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在 $%5Cleft(%200%2C2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20$ 可能有 $%5Ccolor%7Bred%7D2$ 個(gè)極小值點(diǎn)，也可能有 $%5Ccolor%7Bred%7D3$ 個(gè)極小值點(diǎn)，②錯(cuò)誤；

由圖可知，未伸縮之前，

在 $%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B10%7D%20%5Cright)%20$ 單調(diào)遞增，

且在 $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B10%7D$ 右側(cè)第一個(gè)極值點(diǎn)為 $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B3%5Cpi%7D%7D%7B10%7D$ ，

由于 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B3%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B10%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%3E%5Cfrac%7B3%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B10%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B10%7D%7B29%7D%3E%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B10%7D%7D$ ，