（合計(jì)878字，用時100min——）

這應(yīng)該是整本書最難的一部分，因?yàn)橄鄬Χ远ɡ硇问奖容^復(fù)雜，難于記憶，然后，缺乏實(shí)例去加深記憶，并且對于老師而言，很難展開，所以反而是一個值得在教學(xué)上深究的點(diǎn)。

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第 五?章??相似矩陣及二次型

&5.二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型

概念：

• 二次型：含有n個變量x1,x2,...,xn的二次齊次函數(shù)

????——稱為二次型。

• 合同：設(shè)A和B是n階矩陣，若有可逆矩陣C，使

????——則稱矩陣A與B合同。

• 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）：取aij=aji，則2aijxixj=aijxixj+ajixjxi，于是二次型可寫成

????——對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換

????——使二次型只含平方項(xiàng)，也就是上式代入原式，能使

????——這種只含平方項(xiàng)的二次型，稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）。

• 二次型的規(guī)范形：如果標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)k1,k2,...,kn只在1，-1,0三個數(shù)中取值，即

????——則稱上式為二次型的規(guī)范性。

定理：

• 任給二次型

????——總有正交變換x=Py，使f化為標(biāo)準(zhǔn)型

????——其中λ1,λ2,...,λn是f的矩陣A=(aij)的特征值。

• 任給n元二次型

????——總有可逆矩陣x=Cz，使f(Cz)為規(guī)范型。

&6.用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型

方法：用正交變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形，具有保持幾何形狀不變的優(yōu)點(diǎn)。如果不限于正交變換，那么還可以有多種方法（對應(yīng)有多個可逆的線性變換）把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型——拉格朗日配方法——例題見書上。

&7.正定二次型

概念：

• 正定二次型：設(shè)有二次型

????——如果對任何x≠0，都有f(x)>0（顯然f(0)=0），則稱f為正定二次型，

????——并稱對稱陣A是正定的。

• 負(fù)定二次型：設(shè)有二次型

????——如果對任何x≠0，都有f(x)<0（顯然f(0)=0），則稱f為負(fù)定二次型，

????——并稱對稱陣A是負(fù)定的。

• 正慣性指數(shù)：二次型的標(biāo)準(zhǔn)型中正系數(shù)的個數(shù)稱為二次型的正慣性指數(shù)。

• 負(fù)慣性指數(shù)：二次型的標(biāo)準(zhǔn)型中負(fù)系數(shù)的個數(shù)稱為二次型的負(fù)慣性指數(shù)。

定理：

• 慣性定理：設(shè)有二次型

????——它的秩為r，有兩個可逆變換x=Cy及x=Pz使

????——及

????——則k1,k2,...,kr中正數(shù)的個數(shù)與λ1,λ2,...,λr中正數(shù)的個數(shù)相等。

• 若二次型f的正慣性指數(shù)為p，秩為r，則f的規(guī)范形便可確定為

• n元二次型

????——為正定的充分必要條件是：它的標(biāo)準(zhǔn)形的n個系數(shù)全為正，

????——即它的規(guī)范形的n個系數(shù)全為1，亦即它的正慣性指數(shù)等于n。

• 對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的特征值全為正。

• 赫爾維茨定理：對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的各階主子式都為正，即

????——對稱陣A為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即

????