定義? 設(shè)A是一個(gè)非空集合，R是A×A的一個(gè)子集，a,b∈A,若（a,b）∈R，則稱a與b有關(guān)系R，記為aRb，且稱R為A的一個(gè)關(guān)系（二元關(guān)系）。

定義? ?若集合A的一個(gè)關(guān)系R滿足

1? 反身性； aRa,??? a∈A ;

2? 對(duì)稱性；aRb →bRa ,???? a,b ∈A ;

3? 傳遞性 ； aRb，bRc?→aRc,? ?? a,b ,c∈A .

則稱關(guān)系R為A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。

實(shí)數(shù)集中的≤關(guān)系不是等價(jià)關(guān)系，因其不滿足對(duì)稱性。

定義? 若將集合A分成一些非空子集，每個(gè)子集稱為A的一個(gè)類，使得A的每一元素屬于且僅屬于一個(gè)類，則稱這些類的全體為集合A的一個(gè)分類，也稱為A的一個(gè)分劃。

A的等價(jià)關(guān)系與A的分類之間有密切的聯(lián)系，這由以下兩個(gè)定理可以看出

定理? 集合A的一個(gè)分類決定A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系

證明? 我們利用A的分類來定義A的一個(gè)關(guān)系R，然后證明R是等價(jià)關(guān)系。定義 當(dāng)且僅當(dāng)a與b同在一類時(shí)，aRb。據(jù)定義知這樣規(guī)定的R是A的一個(gè)關(guān)系。又因?yàn)閍∈A,a與a同在一類，所以R滿足反身性；a,b∈A，若aRb，表面a與b同在一類，則b與a也同在一類，所以bRa，即R滿足對(duì)稱性；a,b,c∈A，若aRb，bRc，表明a與b同在一類，b與c同在一類，則a與c也同在一類，所以aRc，即R滿足傳遞性。根據(jù)定義，R是A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。

定義? 設(shè)集合A中有等價(jià)關(guān)系R，a∈A,則A中與a有關(guān)系的所有元素的集合[b∈A,｜bRa}，稱為a所在的等價(jià)類，記為[a]，a稱為這個(gè)等價(jià)類的代表元。

同一個(gè)等價(jià)類可以有不同的代表元。

定義 設(shè)集合A中有等價(jià)關(guān)系R，則以R為前提的所有等價(jià)類（重復(fù)的只取一個(gè)）的集合【[a]】,稱為A對(duì)R的商集合，記為A/R。

我們注意到，等價(jià)類[a]是A的子集合，卻是A/R的元素

一個(gè)集合通過等價(jià)關(guān)系，在新的層次上產(chǎn)生出與原集合有聯(lián)系的新的集合，——商集合，這也反映出等價(jià)關(guān)系不同于一般二元關(guān)系的重要性。

出自 （簡(jiǎn)明抽象代數(shù)）

:顧沛，鄧少強(qiáng)? ?編