命題5.8：

不相等的兩個量與同一個量的比值中，較大的量比值也較大；一個量與兩個不等量的比值中，較小的量比值較大

已知：AB＞C，任意量D

求證：AB：D＞C：D，D：C＞D：AB

解：

在AB上截BE=C

（命題1.3）

當AE＜BE時

作AE的倍量FG＞D，

（公設1.2＆命題1.3）

作GH，使FG：AE=GH：BE

（公設1.2＆命題1.3）

作K，使FG：AE=K：C

（命題1.3）

作L=2D

（命題1.3）

作M=3D

（命題1.3）

以此類推，直到所作線段大于K為止，

設其為N，且N=4D

（命題1.3）

證：

∵N＞K

（已知）

∴K≥M

（已知）

∵FG：AE=GH：BE

（已知）

∴FG：AE=FH：AB

（命題5.1）

∵FG：AE=K：C

（已知）

∴FH：AB=K：C

（公理1.1）

∵GH：BE=K：C，BE=C

（已知）

∴GH=K

（公理1.1）

∵K≥M

（已證）

∴GH≥M

（公理1.1）

∵FG＞D

（已知）

∴FH＞D+M

（公理1.2）

∵M=3D

（已知）

∴M+D=4D

（公理1.2）

∵N=4D

（已知）

∴M+D=N

（公理1.1）

∵FH＞D+M

（已證）

∴FH＞N

（公理1.1）

∵FH：AB=K：C，N＞K，N=4D

（已證）

∴AB：D＞C：D

（定義5.7）

在同一結構中，

同理可證，N＞K，且FH＞N

∵N=4D，F(xiàn)H：AB=K：C

（已知）

∴D：C＞D：AB

（定義5.7）

當AE＞BE時

令GH為BE的倍數(shù)，并大于D

（命題1.3）

作FG,GH,K，F(xiàn)G：AE=GH：BE=K：C

（公設1.2＆命題1.3）

同理可證，AB：D＞C：D，D：C＞D：AB

證畢

此命題將在下一命題中被使用

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