Urysohn 引理? ? ?設X為正規(guī)空間，A和B是X中兩個無交的閉集。［a, b］是實直線上的一個閉區(qū)間。則存在一個連續(xù)映射? f : X?→?［a, b］ 使得對于A中的每一個x，有f(x)=a，并且對于B中的每一個x，有f(x)=b。

定義? ? ? ?設A和B是拓撲空間X的兩個子集，如果存在一個連續(xù)函數(shù) f : X→［0, 1］，使得f(A)=｛0｝,? ? f(B)=｛1｝, 那么就稱A和B能用一個連續(xù)函數(shù)分離。

現(xiàn)在可能會提出這樣的問題，Urysohn引理的證明是否能推廣到正則空間上，既然在正則空間上能用無交的開集來分離點和閉集，那么是否也能用連續(xù)函數(shù)來分離點和閉集呢？

雖然，這并不能輕易做到。但是，能夠用一個連續(xù)函數(shù)來分離點和閉集，這比要求用無交的開集來分離它們的條件更強。我們把這一條件當作一個新的分離公理。

定義? ? ? ? 空間X稱為完全正則的，如果每一個單點集是閉集，并且對于X中的每一個點X0和不包含X0的任何一個閉集A，存在一個連續(xù)函數(shù) f ；X→［0,?1］，使得f（X0）=1 和f( A ) =?｛0｝

完全正則空間的子空間是完全正則的， 完全正則空間的積空間是完全正則的。

要找一個正則卻非完全正則空間是比較困難的，已給出的大多數(shù)例子都很復雜，并要求熟悉基數(shù)理論。