題目選自2011年考研數(shù)學(xué)一

已知函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

且，

計(jì)算二重積分

本題中給出的函數(shù)是抽象函數(shù)，常見(jiàn)的極坐標(biāo)這類二重積分計(jì)算方法失效，只能嘗試直角坐標(biāo)法計(jì)算，同時(shí)考慮到被積函數(shù)中存在函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，可以聯(lián)想到一元函數(shù)中的分部積分法。

首先化為累次積分

其中對(duì)y積分就行湊微分

帶入原積分

其中第一個(gè)積分繼續(xù)采用分部積分

由于題設(shè)中，，所以積分結(jié)果為0

第二個(gè)積分首先進(jìn)行積分換序

單獨(dú)計(jì)算對(duì)x的積分

由于題設(shè)中，

所以

最終

題目分析：二重積分的分部積分法在當(dāng)年屬于第一次在考研數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的考題，具有創(chuàng)新性，計(jì)算過(guò)程比較冗長(zhǎng)，要分清楚對(duì)x積分還是對(duì)y積分。雖然，從未出現(xiàn)過(guò)，但是，題目中被積函數(shù)帶有f(x,y)的導(dǎo)數(shù)確實(shí)起到一定的提示作用?？傮w來(lái)說(shuō)，具有創(chuàng)新性和部分提示，要求計(jì)算過(guò)程思路清晰。