大家好！

今天來給大家分享一道立體幾何題

這是up高三期末考試的一道填空題，可以說想在考場上做出來難度不小，全校做出來的人不到百分之一

我們先來看一看原題：

不難看出，這道題主要有以下幾個難點：

1.題目條件比較創(chuàng)新，難以找到突破口

2.考生看到圖后容易胡思亂想，自己現(xiàn)場編出一種求二面角的方法

3.找到思路后計算量大，過程較為繁瑣，容易出錯

下面 up 就來給大家介紹兩種做法

第一種做法運用了投影的面積性質(zhì)：一個幾何圖形在另一平面的投影面積，等于原圖形面積乘以兩平面夾角的余弦值

如圖，過??和? 做平面??的垂線，垂足分別為??和?

聯(lián)結(jié)?，，，

于是問題轉(zhuǎn)化為求??和? 的面積

易知?

故我們只要求?

由題目所給邊長以及直線與平面的夾角，可知：

?，

只要求出 ，就能求出?

注意到? 為直角梯形， 恰為梯形的高

在? 中使用余弦定理可得：

因此平面? 與平面? 夾角余弦值

以上是第一種做法，計算量略大

第二種做法使用了一個結(jié)論，其實為方向余弦的一個性質(zhì)

該結(jié)論如圖所示：

已知空間中有三條相互垂直的直線，

該結(jié)論證明也是比較容易的：

回到原題：

注意到 ?和 ?均與平面? 垂直，

與平面? 垂直，所以兩平面夾角為?() 與? 的夾角

而?，，?兩兩垂直，且根據(jù)線段長度可知? 與? 以及? 與? 夾角余弦值分別為? 和?

代入結(jié)論中的公式，立刻解得? 與? 夾角余弦值為?

于是兩平面夾角余弦值為?

當(dāng)然本題的解法不止這兩種，如果您有更好的方法，歡迎在評論區(qū)留言～～

好了，以上就是本期內(nèi)容了，感謝收看！

拜拜～～