? ? ? ? 有一個(gè)古老的傳說:一位國王為了獎(jiǎng)勵(lì)國際象棋的發(fā)明者,問他有什么樣的要求.發(fā)明者說,請國王在8×8的棋盤上按下列規(guī)則放置足夠的麥粒就行了.規(guī)則如下:在第1格放1顆,第2格放2顆,第3格放4顆,依次類推,以后每一格都放前一格的2倍,直到放滿第64格為止.國王覺得這并不難辦到,就答應(yīng)了他的請求.請問國王能滿足他的請求嗎?

? ? ? 我們先不要急于考慮國王是否能滿足他的請求,先來看各個(gè)格里的麥粒的數(shù)目有什么特點(diǎn)?

1,2,4,8,…,2^63.這個(gè)數(shù)列中從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)2,這樣的數(shù)列就是我們今天要學(xué)習(xí)的一種特殊的數(shù)列------等比數(shù)列.

? ? ? ?按照上述數(shù)列的特點(diǎn),我們將等比數(shù)列定義如下:

? ? ? ?一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),就稱這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列,其中的常數(shù)叫做這個(gè)等比數(shù)列的公比,用字母q表示.

? ? ? ?等比數(shù)列的定義用符號語言可表示為:

? ? ? ? ? ? ? ?a(n+1)/a(n)=q(常數(shù)).

? ? ? ?從定義可以看出,等比數(shù)列與等差數(shù)列有明顯的區(qū)別:因?yàn)榈缺葦?shù)列的每一項(xiàng)都會(huì)做分母,所以每一項(xiàng)都不能取0,進(jìn)而也有公比q≠0.可見下面的判斷就是錯(cuò)誤的:常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.因?yàn)槌?shù)列還會(huì)出現(xiàn)以0為項(xiàng)的常數(shù)列,而這種常數(shù)列是等差數(shù)列卻不是等比數(shù)列,這一點(diǎn)是學(xué)生最容易出錯(cuò)的地方,要特別小心!

? ? ? ?再來看等比數(shù)列的通項(xiàng)公式怎樣推導(dǎo)?

? ? ? ?由于a(n+1)/a(n)=q,于是有a(n+1)=a(n)q,所以當(dāng)n依次取1,2,3,…時(shí)就有:

? ? ? a(2)=a(1)q;

? ? ? a(3)=a(2)q=a(1)q^2;

? ? ? a(4)=a(3)q=a(1)q^3,

? ? ??…,

? ? ??a(n)=a(1)q^(n-1).

? ? ? ?這就是利用不完全歸納法得到的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.

? ? ? 我們還可以利用疊乘法,迭代法和累商法來推導(dǎo)這個(gè)公式.

? ? ? 如:疊乘法 a(2)/a(1)=q;

???????a(3)/a(2)=q;

???????a(4)/a(3)=q;

???????…,

???????a(n)/a(n-1)=q,

? ? ? 將上述n-1個(gè)式子相乘得,a(n)/a(1)=q^(n-1),即

??????a(n)=a(1)q^(n-1).

? ? ? 其余兩種方法大家可以仿照等差數(shù)列的形式推導(dǎo).

?(2006-12-27 13:13:17)