以小求大：觀察面積間的比例關(guān)系（2014湖南圓錐曲線）

2022-10-11 11:54 作者:數(shù)學(xué)老頑童 0人讀過 | 我要投稿

（2014湖南，21）如圖， $O$ 為坐標(biāo)原點，橢圓 $C_1$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ （ $a%3Eb%3E0$ ）的左、右焦點分別為 $F_1$ 、 $F_2$ ，離心率為 $e_1$ ；雙曲線 $C_2$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ 的左、右焦點分別為 $F_3$ 、 $F_4$ ，離心率為 $e_2$ ，已知 $e_1e_2%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，且 $%5Cleft%7C%20F_2F_4%20%5Cright%7C%3D%5Csqrt%7B3%7D-1$ .

（1）求 $C_1$ 、 $C_2$ 的方程；

（2）過 $F_1$ 作 $C_1$ 的不垂直于 $y$ 軸的弦 $AB$ ， $M$ 為 $AB$ 的中點，當(dāng)直線 $OM$ 與 $C_2$ 交于 $P$ 、 $Q$ 兩點，求四邊形 $APBQ$ 面積的最小值.

解：（1）由題可知：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%09%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Ba%5E2-b%5E2%7D%7D%7Ba%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%7D%7Ba%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%2C%5C%5C%09%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D-%5Csqrt%7Ba%5E2-b%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B3%7D-1.%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

解得： $%5Ccolor%7Bred%7D%7Ba%3D%5Csqrt%7B2%7D%7D$ ， $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bb%3D1%7D$ ，

所以 $C_1$ 、 $C_2$ 的方程分別為：

$%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%2By%5E2%3D1%7D$ 、 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D-y%5E2%3D1%7D$ .

如圖，連接 $OA$ 、 $OB$

設(shè)直線 $AB$ 的方程為 $x%3Dmy-1$ ,

與橢圓聯(lián)立得

$%5Cleft(%20m%5E2%2B2%20%5Cright)%20y%5E2-2my-1%3D0$ ，

依韋達(dá)定理：

$y_1%2By_2%3D%5Cfrac%7B2m%7D%7Bm%5E2%2B2%7D$ ， $y_1y_2%3D%5Cfrac%7B-1%7D%7Bm%5E2%2B2%7D$ ，

所以

$%5Ccolor%7Bred%7D%7By_M%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(%20y_1%2By_2%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B2m%7D%7Bm%5E2%2B2%7D%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7Bm%7D%7Bm%5E2%2B2%7D%7D$

所以

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx_M%7D%3Dmy_M-1%3Dm%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bm%7D%7Bm%5E2%2B2%7D-1%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B-2%7D%7Bm%5E2%2B2%7D%7D$

所以

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bk_%7BOM%7D%7D%3D%5Cfrac%7By_M-0%7D%7Bx_M-0%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bm%7D%7Bm%5E2%2B2%7D-0%7D%7B%5Cfrac%7B-2%7D%7Bm%5E2%2B2%7D-0%7D%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B-%5Cfrac%7Bm%7D%7B2%7D%7D$

所以直線 $%5Ccolor%7Bred%7D%7BOM%7D$ 的方程為 $%5Ccolor%7Bred%7D%7By%3D-%5Cfrac%7Bm%7D%7B2%7Dx%7D$ .

與雙曲線聯(lián)立，消去 $y$ ，解得

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx_P%3D%5Cfrac%7B-2%7D%7B%5Csqrt%7B2-m%5E2%7D%7D%7D$ .

顯然， $m%5E2%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft%5B%200%2C2%20%5Cright)%20%7D%20$ .

所以

$%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20PQ%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20OM%20%5Cright%7C%7D%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Cleft%7C%20x_P%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20x_m%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B-2%7D%7B%5Csqrt%7B2-m%5E2%7D%7D%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B-2%7D%7Bm%5E2%2B2%7D%20%5Cright%7C%7D%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B2%5Cleft(2%2Bm%5E2%5Cright)%7D%7B%5Csqrt%7B2-m%5E2%7D%7D%7D$

$%5Cbigtriangleup%20OAB$ 的水平寬為 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cvert%20OF_1%20%5Cvert%20%3D1%7D$ ，

其鉛錘高為

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft%7C%20y_1-y_2%20%5Cright%7C%7D%26%3D%5Csqrt%7B%5Cleft(%20y_1%2By_2%20%5Cright)%20%5E2-4y_1y_2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Csqrt%7B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B2m%7D%7Bm%5E2%2B2%7D%20%5Cright)%20%5E2-4%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B-1%7D%7Bm%5E2%2B2%7D%20%5Cright)%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B2%7D%5Ccdot%20%5Csqrt%7Bm%5E2%2B1%7D%7D%7Bm%5E2%2B2%7D%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09S_%7BAPQB%7D%26%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20PQ%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20OM%20%5Cright%7C%7D%5Ccdot%20S_%7B%5Cbigtriangleup%20OAB%7D%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20PQ%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20OM%20%5Cright%7C%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20OF_1%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20y_1-y_2%20%5Cright%7C%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B2%5Cleft(%202%2Bm%5E2%20%5Cright)%7D%7B%5Csqrt%7B2-m%5E2%7D%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%201%5Ccdot%20%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B2%7D%5Ccdot%20%5Csqrt%7Bm%5E2%2B1%7D%7D%7Bm%5E2%2B2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D2%5Csqrt%7B2%7D%5Ccdot%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bm%5E2%2B1%7D%7B2-m%5E2%7D%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B2%5Csqrt%7B2%7D%5Ccdot%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2-m%5E2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5Cgeqslant%202%5Csqrt%7B2%7D%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

當(dāng)且僅當(dāng) $m%3D0$ 時取得最小值.

標(biāo)簽：

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