先看傅里葉級數(shù)的來歷：

由于其系數(shù)滿足：

得到：

雖然f(x)的周期T不一定是2pi,但可以讓T變得與2pi相關。因此傅里葉級數(shù)是由三角級數(shù)推出，也就是針對周期函數(shù)而言。系數(shù)Fn的積分區(qū)間是一個周期。

簡單代換：

得到：

因此，傅里葉變換是假設傅里葉級數(shù)中的周期無窮大，也就是針對非周期函數(shù)而言。系數(shù)Fjw的積分區(qū)間是無窮大。

很自然地想到，周期函數(shù)有沒有傅里葉變換呢？

對于周期函數(shù)，先將其展開為傅里葉級數(shù)，再對這個展開后的表達式進行傅里葉變換：

從而得到周期函數(shù)的傅里葉變換：

因此，周期函數(shù)的傅里葉變換，是將傅里葉級數(shù)和傅里葉變換兩者相結合的產物。正向變換FT的積分區(qū)間也是無窮大。正向傅里葉變換中的函數(shù)周期是經過周期延拓得到的，原因是其頻譜中存在沖擊序列。

對于離散序列來說，同樣分為三種情況。

因此，DFS就是周期函數(shù)離散域的傅里葉級數(shù)。正變換的積分區(qū)間是一個周期。

同樣，對于離散域的非周期函數(shù)而言：

因此，DTFT就是非周期函數(shù)離散域的傅里葉變換。正變換的積分區(qū)間是無窮大。

對于離散域的周期函數(shù)來說，周期序列實際上只有有限個序列值才有意義, 因 而它的離散傅里葉級數(shù)表示式也適用于有限長序列 , 這就得到有限長序列的傅里葉變換 (DFT).

具體而言, 我們把

(1) 時域周期序列看作是有限長序列 x(n) 的周期延拓;

(2) 把頻域周期序列看作是有限長序列X(k)的周期 延拓.

(3) 這 樣 我 們 只 要 把 DFS 的 定 義 式 兩 邊 取 主 值 區(qū) 間, 就 得 到 關 于 有 限 長 序 列 的 時 頻 域 的 對 應 變 換 對. 這 就 是 數(shù) 字 信 號 處 理 課 程 里 最 重 要 的 變 換 ------- 離 散 傅 里 葉 變 換 (DFT).

這樣看來，DFT與DFS的表達式完全相同，但兩者在理念上還是不一樣的：DFS中的函數(shù)周期是一個真正的函數(shù)周期，比如一個余弦函數(shù)的周期2pi；但DFT中的周期是想象出來的，比如我們可以把一個半周期的余弦函數(shù)作為一個完整的函數(shù)看待，再對其進行周期延拓。

因此，DFT中正向變換的周期同樣是進行周期延拓得到。

DFT還可以有另一種表示方式。參考連續(xù)域的周期函數(shù)的傅里葉變換，是先展開為傅里葉級數(shù)得到，離散周期序列同樣可以先展開為DFS,再得到DFT：

參考IDFT表達式，

式（1）就是周期性序列的傅里葉變換表示式，其頻譜中同樣存在沖擊序列。而這個表達式就是數(shù)字信號分析中最重要的表達式。

總結如下：

1：傅里葉級數(shù)FS由三角函數(shù)推導得出，因此是針對周期函數(shù)來說的；相對應的離散域傅里葉級數(shù)是DFS。

2：令FS中的周期無限大，得到傅里葉變換FT；離散域相對應的是DTFT。

3：周期函數(shù)也存在傅里葉變換，其頻譜中的周期是經過周期延拓得到，原因是因為其頻譜中存在沖擊函數(shù)序列，這也是周期函數(shù)展開為傅里葉變換后相當于進行了周期延拓的原因所在。離散域相對應的是DFT。