預(yù)備知識：

1. 數(shù)列l(wèi)im n^（1/n）=1，lim a^（1/n）=1，a>0；

2. 收斂數(shù)列{an}極限為a，則an=a+ɑn，其中{ɑn}為一個無窮??；

3. 收斂數(shù)列必有界；

4. 有限個無窮小的和還是無窮??；

5. 有界數(shù)列乘以無窮小的積還是無窮小；

6. 設(shè)lim an=a，則lim（a1+a2+……+an）/n=a；

7. 設(shè)lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；

8. 設(shè)lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；

9. 設(shè)lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.

10. 定比分點：在線段P1P2上求一點P，使得由P分成的兩個有向線段P1P與PP2的量的比為定數(shù)λ（λ不為-1），即P1P/PP2=λ，則P為線段P1P2以λ為定比的分點，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分點公式。
    

11. 矩陣乘法運算律——

    a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）

    b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

    c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

    d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A

    e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

    f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。

12. 矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應(yīng)的行列式。

13. 矩陣對應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；

14. 設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

15. A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）

16. E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
    

    方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A

    方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）

17. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'；

18. 定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對稱矩陣。

19. 定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。

20. 矩陣轉(zhuǎn)置運算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強 編著）

2. 《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）

3. 《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強?編著）》）——

證明：若{an+an+1}，{an+an+2}均為收斂列，則{an}是收斂列。

證：

1. {an+an+1}，{an+an+2}均為收斂列，令lim an+an+1=a，liman+an+2=b；

2. an+1

   =（an+an+1）-an

   =（an+an+1）-（an+an+2）+an+2

   =[（an+an+1）-（an+an+2）+（an+1+an+2）]/2；

3. an+2

   =（an+an+2）-an

   =（an+an+2）-（an+an+1）+an+1

   =[（an+an+2）-（an+an+1）+（an+1+an+2）]/2；

4. lim[（an+an+1）-（an+an+2）+（an+1+an+2）]/2=（a-b+a）/2=a-b/2，

   lim[（an+an+2）-（an+an+1）+（an+1+an+2）]/2=（b-a+a）/2=b/2，

   則a-b/2=b/2，a=b；

5. lim an=a/2，證畢。

解析幾何——

例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——

證明：用向量證明三角形的正弦定律，即在三角形ABC中：a/sin A=b/sin B=c/sin C

證：記AB=c，AC=b，BC=a，|a|=a，|b|=b，|c|=c于是c+a=b——

1. bxc=（c+a）xc=cxc+axc=axc，axb=ax（c+a）=axc+cxc=axc，

2. 由1：axb=bxc=axc，則|axb|=|bxc|=|axc|；

3. 由2：|a||b|sin∠（a，b）=|b||c|sin∠（b，c）=|a||c|sin∠（a，c），

   即，|a||b|sin∠ C=|b||c|sin∠A=|a||c|sin（п-B）=|a||c|sin B；

4. 由3：abc/absin C=abc/bcsin A=abc/acsinB，即c/sin C=a/sin A=b/sinB，證畢。

高等代數(shù)——

例題（來自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——

證明：如果A與B都是n級對稱矩陣，那么AB-BA是斜對稱矩陣。

證：

1. A與B都是n級對稱矩陣，則A'=A，B'=B；

2. （AB-BA）'=（AB）'-（BA）'=B'A'-A'B'=BA-AB=-（AB-BA），即AB-BA是斜對稱矩陣。

到這里！