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一個不等式的證明

2023-07-27 20:54 作者:小王工作室SCIENCE 0人讀過 | 我要投稿

證明： $(%5Csin%20x%20-%5Csin%20y)%5E2%20%2B(%5Ccos%20x%20-%5Ccos%20y)%5E2%3D(x-y)%5E2%0A$

$f(x)%3Dx-sinx$ ? ?? $f'(x)%3D1-cosx%E2%89%A50$

易得 $x-sinx%3D0$ 即 $2x-2sinx%3D0$ 的解為 $x%3D0$

因為 $%5Cint_%7B%7D%5E%7B%7D%20(2x-2sinx)%20dx%3Dx%5E2%2B2cosx$

所以 $x%3D0$ 時函數(shù) $g(x)%3Dx%5E2%2B2cosx$ 取極值，易得此處為最小值為 $g(x)%3D2$

所以 $x%5E2%2B2cosx%E2%89%A52$

$(x-y)%5E2%2B2cos(x-y)%E2%89%A52$

運算得：

$(%5Csin%20x%20-%5Csin%20y)%5E2%20%2B(%5Ccos%20x%20-%5Ccos%20y)%5E2%3D(x-y)%5E2%0A$

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