BV1aR4y1c7Ff

有

sin(A/2)=r/√(2Rr)

即

cos(A/2)=√(2Rr-r2)/√(2Rr)

即

sinA=√(2Rr-r2)/R

即

a=2√(2Rr-r2)

且

R=abc/(4S)

r=2S/(a+b+c)

即

a2

=

4(2Rr-r2)

=

4abc/(a+b+c)

-

16S2/(a+b+c)2

=

4abc-(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)

/

a+b+c

=

4abc-(c2-(a-b)2)(a+b-c)

/

a+b+c

=

4abc-ac2-bc2+c3+(a2-b2)(a-b)-c(a-b)2

/

a+b+c

=

4abc-ac2-bc2+c3+a3-a2b-ab2+b3-a2c+2abc-b2c

/

a+b+c

=

6abc-ac2-bc2+c3+a3-a2b-ab2+b3-a2c-b2c

/

a+b+c

即

6abc-ac2-bc2+c3+a3-a2b-ab2+b3-a2c-b2c

=

a3+a2b+a2c

即

6abc-ac2-bc2+c3-2a2b-ab2+b3-2a2c-b2c=0

即

(b+c)((b-c)2-2a2)-a((b-c)2-4bc)=0

設(shè)

b+c=ka

有

ka((ka-2c)2-2a2)-a((ka-2c)2-4(ka-c)c)=0

即

(k-1)a(ka-2c)2-2ka3+4ka2c-4ac2=0

即

(k-1)(ka-2c)2-2ka2+4kac-4c2=0

即

(k-1)(k2a2-4kac+4c2)-2ka2+4kac-4c2=0

即

k(k2-k-2)a2+(2-k)4kac+(k-2)4c2=0

即

k(k-2)(k+1)a2-(k-2)4kac+(k-2)4c2=0

即

(k-2)(k(k+1)a2-4kac+4c2)=0

且

k＞0

a，c≠0

即

k=2

即

b+c=2a

即

AB+AC=2BC

得證