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[翻譯]錐線幾何(Geometry of Conics)第一章：二次曲線的諸基本性質(zhì)1.3(I)

2023-08-11 03:00 作者:瀰?夃 0人讀過 | 我要投稿

本文譯自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.
翻譯：野呂侯奈因
僅供學習交流使用
譯者按：
?????? 本書在幾何愛好者之間小有人氣，但目前網(wǎng)上只能找到一些零散的翻譯．鑒于目前通行的數(shù)學教學中對于二次曲線問題的處理方式過于單一，希望能借翻譯本書的機會來推廣一下二次曲線的射影幾何視角．

1.3. 光學性質(zhì)

???????眾所周知，當光線在鏡面處反射時，其反射角會等于對應的入射角．這與所謂的費馬原理(Fermat principle)有關，即光總會沿最短路徑轉播．接下來我們來證明這條路徑的確是最短的．

???????也就是說對于居于直線 $l$ 同一側的兩點 $F_1$ 和 $F_2$ ，我們需要找到 $l$ 上一點 $P$ ，使得 $P$ 到 $F_1$ 和 $F_2$ 的距離之和最?。鞒?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=F_2" alt="F_2">關于 $l$ 的對稱點 $F'_2$ ，容易驗證，對于 $l$ 上任意的點 $X$ ，都有 $F_2X%3DF'_2X$ ．于是我們只需找到找到 $l$ 上一點 $P$ ，使得 $P$ 到 $F_1$ 和 $F'_2$ 的距離之和最小即可．顯然，該最小值會在 $F_1F'_2$ 與 $l$ 交點處取得．（圖1.7）

練習1. a)對于分居直線 $l$ 兩側的點 $F_1$ 和 $F_2$ ，試求 $l$ 上一點 $P$ ，使得 $P$ 到 $F_1$ 與 $F_2$ 的距離之差的絕對值最大．

????? ?b) 給出不重疊的兩直線 $l$ 和 $l'$ 以及不在兩直線上的點 $F$ ，試求試求 $l$ 上一點 $P$ ，使得 $P$ 到 $F$ 與 $l'$ 的距離之差的絕對值最大．

解答. a)設 $F'_2$ 為 $F_2$ 關于 $l$ 的對稱點．容易驗證，對于 $l$ 上任意的點 $X$ ，都有 $F_2X%3DF'_2X$ ．我們只需找到 $l$ 上使得 $P$ 到 $F_1$ 與 $F'_2$ 的距離之差的絕對值最大的位置即可．由三角不等式有 $%5Cvert%20F_1P-F'_2P%5Cvert%3CF_1F'_2$ ，當且僅當 $F_1$ 、 $F'_2$ 與 $P$ 三點共線時取得最大值．另外，由于 $F_2$ 與 $F'_2$ 對稱，會有 $F_1P$ 和 $F_2P$ 夾 $l$ 所形成的兩角相等．（圖1.8）

???????b)?設 $F'$ 為 $F$ 關于 $l$ 的對稱點．取 $F$ 與 $F'$ 中到 $l'$ 距離較小的一點．不妨設其為 $F$ ，再設 $F$ 到 $l'$ 的距離為 $d$ ，于是對于 $l$ 上任意的 $P$ ，其到 $l'$ 的距離都不大于 $PF%2Bd$ ，因此本題所求差值也就不會超過 $d$ 了．而當 $P$ 位于 $l'$ 過 $F$ 的垂線上時其值取得 $d$ （圖1.9）．