復旦大學謝啟鴻高等代數(shù)每周一題[2021A09]參考解答

2021-11-22 22:22 作者:CharlesMa0606 0人讀過 | 我要投稿

本文是本人給出的2021年復旦大學謝啟鴻高等代數(shù)的每周一題[問題2021A09]的解答

題目來自于復旦大學謝啟鴻教授在他的博客提供的每周一題練習

（鏈接：https://www.cnblogs.com/torsor/p/15329047.html）

本文僅供學習交流，如有錯誤懇請指正！

[問題2021A09]設A為列滿秩的 $m%5Ctimes%20n$ 實矩陣.

(1)求證： $A%5E%5Cprime%20A$ 為非異陣.

(2)設A的第一列元素全為1，令 $P%3DA%5Cleft(A%5E%5Cprime%20A%5Cright)%5E%7B-1%7DA%5E%5Cprime$ ，求證：P的所有主對角元素都大于等于 $%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D$ .

解(1)我們使用 $Cauchy-Binet$ 公式，可以得到：

$%5Cleft%7CA%5E%5Cprime%20A%5Cright%7C%3D%5Csum_%7B1%5Cle%20i_1%3C%5Ccdots%3Ci_n%5Cle%20m%7D%7BA%5E%5Cprime%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%262%26%5Ccdots%26n%5C%5Ci_1%26i_2%26%5Ccdots%26i_n%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright)A%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7Di_1%26i_2%26%5Ccdots%26i_n%5C%5C1%262%26%5Ccdots%26n%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright)%7D$

$%3D%5Csum_%7B1%5Cle%20i_1%3C%5Ccdots%3Ci_n%5Cle%20m%7D%7BA%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7Di_1%26i_2%26%5Ccdots%26i_n%5C%5C1%262%26%5Ccdots%26n%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright)%5E2%7D%3E0$

從而 $A%5E%5Cprime%20A$ 為非異陣.

或者我們可以考慮線性方程組 $Ax%3D0$ 和 $A%5E%5Cprime%20Ax%3D0$ 的解的關系，若 $A%5E%5Cprime%20Ax%3D0$ ，則 $x%5E%5Cprime%20A%5E%5Cprime%20Ax%3D0$ ，即 $%5Cleft(Ax%5Cright)%5E%5Cprime%5Cleft(Ax%5Cright)%3D0$ ，從而 $Ax%3D0$ .反過來顯然.

于是線性方程組 $Ax%3D0$ 和 $A%5E%5Cprime%20Ax%3D0$ 的同解，即 $A%5E%5Cprime%20Ax%3D0$ 只有零解，于是 $A%5E%5Cprime%20A$ 是非異陣.

(2)注意到 $PA%3DA%2CA%5E%5Cprime%20P%3DA%5E%5Cprime%2CP%5E%5Cprime%3DP%2CP%5E2%3DP$ ,于是根據(jù)A的第一列元素全為1可知P的每行每列之和都為1，并且

$P_%7Bii%7D%3D%5Cleft(PP%5E%5Cprime%5Cright)_%7Bii%7D%3D%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7Bm%7DP_%7Bij%7D%5E2%5Cgeq%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Cleft(%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7Bm%7DP_%7Bij%7D%5Cright)%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D.$

或者我們也注意到對任何 $%5Calpha%5Cneq0%5Cin%20R%5Em%EF%BC%8C%5Calpha%5E%5Cprime%20P%5Calpha%3D%5Cleft(A%5E%5Cprime%5Calpha%5Cright)%5E%5Cprime%5Cleft(A%5E%5Cprime%20A%5Cright)%5E%7B-1%7D%5Cleft(A%5E%5Cprime%5Calpha%5Cright)%5Cgeq0$ ，從而P是半正定陣，于是P的所有主子式非負.考慮大于等于二階主子陣中絕對值最大的元素，若其不在對角線，則可得出絕對值最大的元素所在的二階主子式是負值，這是不可能的，于是每個主子陣的絕對值最大的元素都在對角線上，這也就說明了對角線元素不會比非對角線元素小，從而由P的每行每列之和都為1可以得到對角線元素大于等于 $%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D$ .